Manova Satu Arah Dan Uji Pos Hoc

Diampuh Oleh Prof.DR. Dhoriva Urwatul Wustqa, M.S

Disampaikan Oleh Risnandar H. Sahido, Riza Nur Fadila

Pengertian MANOVA

Multivariate analysis of variance (MANOVA) adalah perluasan dari analysis of variance (ANOVA) univariat. MANOVA digunakan untuk mengetahui pengaruh variabel independen kualitatif (dua atau lebih grup) terhadap dua atau lebih variabel dependen kuantitatif. Apabila hanya ada dua grup dan dua atau lebih variabel dependen kuantitatif maka gunakan uji Hotelling’s \(T^2\).

Manova Satu Arah

MANOVA satu arah adalah analisis varian multivariat yang digunakan untuk menguji ada atau tidaknya perbedaan yang nyata tentang pengaruh perlakuan terhadap p variabel respon (p>1), atau menguji kesamaan vektor rata-rata dari beberapa (k) populasi

Berikut keuntungan menggunakan MANOVA menurut Bray dan Maxwell (1985) dan Stevens (2002) adalah

  1. Satu variabel dependen jarang menggambarkan seluruh fenomena yang diteliti. Beberapa variabel dependen lebih memperluas domain konseptual yang sedang dipelajari.

  2. MANOVA memberikan kontrol terhadap level α secara keseluruhan.

  3. Uji statistik univariat cenderung mengabaikan interkorelasi antara variabel dependen. Sedangkan MANOVA mempertimbangkan interkorelasi antar variabel dependen dengan memeriksa matriks varians-kovarians.

  4. MANOVA memungkinkan peneliti untuk menguji hubungan antara variabel dependen pada setiap level variabel independen.

  5. MANOVA memberi petunjuk statistik kepada peneliti tentang pereduksian jumlah variabel dependen.

  6. MANOVA membantu mengidentifikasi variabel dependen yang menghasilkan perbedaan grup paling besar.

  7. MANOVA dapat memperjelas adanya perbedaan grup dan meningkatkan power.

Manova tidak Dpat digunakan :

MANOVA tidak dapat digunakan ketika

  1. Jika variabel-variabel dependen tidak berkorelasi. Situasi ideal penggunaan MANOVA jika variabel-variabel dependen berkorelasi moderat. Weinfurt (1995) menyatakan korelasi antar tiga variabel dependen berkisar antara 0.21 dan 0.36 cukup untuk MANOVA.

  2. Jika variabel-variabel dependen berkorelasi sangat tinggi → multikolinearitas.

  3. Keterbatasan pengetahuan statistik. Asumsi-asumsi dalam MANOVA lebih kompleks dibanding univariat.

Model MANOVA

Model MANOVA untuk perbandingan \(g\) vektor rata-rata populasi \(Y_{lj}=\mu + \tau_{l}+\epsilon_{lj}\) , \(l=1,2,3, ..., n_{l}\) dan \(l=1,2,...,g\)

Dengan \(\epsilon_{lj}\) adalah ventor galat acak \(N_{p}(0,\sum{})\). Vektor paramater \(\mu\) adalah rataan keseluruhan, dan \(\tau_l\) menyatakan pengaruh perlakuan ke-\(l\) dengan \(\sum_{l=1}^{g}n_{l}\tau_{l}=0\).

Suatu vektor pengamatan dapat dikomposisi seperti pada model

\[ \begin{matrix} Y_{lj}&=&\overline{Y} & + & (\overline{y_{l}}-\overline{y}) & + & (\overline{y_{lj}}-\overline{y_{l}}) \\ (\text{Pengamatan})& &(\text{rata-rata sampel keseluruhan},\hat{\mu} )& & \text{pengaruh perlakuan dugaan}, \hat{\tau_{l}}) & & (\text{residual},\hat{\epsilon_{lj}}) \end{matrix} \]

Hipotesis

  • \(H_{0} : \begin{bmatrix} \mu_{11}\\ \mu_{12}\\ \vdots \\ \mu_{1p} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_{21}\\ \mu_{22}\\ \vdots \\ \mu_{2p} \end{bmatrix}=\dots = \begin{bmatrix} \mu_{k1}\\ \mu_{k2}\\ \vdots \\ \mu_{kp} \end{bmatrix}\) (Semua perlakuan memberi respon yang sama)

  • \(H_{1}: (\exists l\neq l')\begin{bmatrix} \mu_{l1}\\ \mu_{l2}\\ \vdots \\ \mu_{lp} \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} \mu_{l'1}\\ \mu_{l'2}\\ \vdots \\ \mu_{l'p} \end{bmatrix},l,l'=1,2,\dots K\) (terdapat 2 kelompok perlakuan memberi respon berbeda)

Statistik Uji Manova Satu Arah Dengan Aplikasi Excel

Hipotesis

\(H_{0}\): \(\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=0\)

\(H_{1}:\)Minimal ada satu \(\mu_{i}\), dimana \(\mu_{i}\not=0\)

Menentukan Matriks B dan W

  • Menyiapkan Data di Excel, seperti pada gambar berikut

  • Langkah berikut, menghitung rata-rata total dan rata-rata pervariabel dari data tersebut seperti pada gambar berikut

  • Berdasarkan gambar tersebut kita telah memperoleh Matriks B
  • Berikut kita juga akan menentukan matriks W
  • Untuk menentukan matriks W kita perlu menggunakan fitur Analysis Data Pada Excel untuk memudahkan kita membuat matriks kovarians dari masing-masing kelompok data.
  • Klik menu File > Option pada aplikasi Microsoft excel, seperti pada gambar berikut !

  • Selanjutnya klik sub Menu Add-ins, pada bagian kanan pilih Analysis Toolpack dan klik Go di bagian bawah.

  • Selanjutnya, ceklis pada bagian Analysis Toolpack dan klik ok

  • jika langkah di atas dilakukan dengan benar seharusnya sudah tampil sub Menu Data Analysis pada menu Data.

  • Selanjutnya, akan ditentukan matriks kovarians dari kelompok Data Model Posed learning (1), Problem Base learning (2), dan Broject Base Learning (3) Secara berurut, Dengan terlebih dahulu memilih sub menu Data Analysis dari menu Data, kemudian mengikuti langkah seperti pada gambar berikut:

Pilih Covariance kemudian OK

  • Klik icon sebagaimana ditunjukkan pada pointer nomor (1), kemudian block Data Y1 dan Y2 sepanjang daerah dari data Model Posed learning (kode 1) sebagaimana pointer nomor (2), Pilih Grouped By Column (3), Pilih Output Range(4), Klik icon untuk memilih cell untuk hasil output (5) dan (6), kemudian klik OK.

  • ulangi langkah sebelumnya untuk data Model Problem base Learning (Kode 2), dan Projeck based Learning (kode 3), sehingga diperoleh hasil sebagaimana gambar berikut

  • selanjutnya, untuk menentukan Matriks W, menggunakan rumus =10*L6+10*L11+10*L16 di cell K22, cell yang tersisa diisi dengan copy-paste rumus pada cell K22, sehingga di peroleh Matriks W seperti pada gambar di atas

Uji Wilks Lambda

  • Selanjutnya Menentukan Uji Wilks Lamda sebagaimana pada gambar berikut

  • berdasarkan gambar tersebut di peroleh nilai \(F_{hit} = 3,64\) > \(F_{tabel}(4,52)=2,55\)

  • selanjutnya, menentukan Uji Pillail, Uji lawly Hotelling, dan Uji Roy, terlebih dahulu harus di cari nilai Lambda Eigen. Dapat dilakukan dengan cara seperti gambar berikut

  • Matriks \(W^{-1}\) diperoleh dengan memilih range F58:G59 dan mengetik rumus determinan matriks =MINVERSE(F52:G53) diakhiri dengan menekan tombol kombinasi untuk fungsi array yaitu : CTRL+ SHIFT+ ENTER secara bersamaan.

  • Matriks \(W^{-1} B\) diperoleh dengan memilih range F64:G65 dan mengetik rumus perkalian matriks =MMULT(F58:G59;F61:G62), diakhiri dengan menekan tombol kombinasi untuk fungsi array yaitu : CTRL+ SHIFT+ ENTER secara bersamaan.

  • Untuk menentukan nilai \(\lambda\) dengan permisalan 2, sebagai alat bantu untuk memnentukan determinan dari \(W^{-1}B-\lambda I\) dengan mengisi cell F70 dengan rumus berdasarakan persamaan \(W^{-1}B-\lambda I\) yaitu =F64-F69*F55, copy-paste rumus tersebut ke cell F71, G70, dan G71.

  • selanjutnya kita menafaatkan fitur Goal Seek pada excel untuk mencari nilai lamda yang membuat persamaan \(W^{-1}B-\lambda I=0\) berlaku. Pilih menu Data > What-if Analysis dan Pilih Goal Seek seperti pada gambar berikut.

  • akan muncul kotak dialog, Isi kolom Get Cell dengan alamat cell determinan \(W^{-1}B-\lambda I\) yaitu $G$73, Kolom To cell dengan nilai 0, dan kolom By Changed Cell dengan alamat cell nilai Lambda (\(\lambda\)) pada contoh ini $F$69.

  • dari langkah tersebut diperoleh nilai \(\lambda_{1}=0,033\), dengan melakukan percobaan kedua menggunakan Goal Seek dan nilai lambda awal = 1.5 diperoleh nilai \(\lambda_{2}=0,584\).

Uji Bartlet Pillail

  • menentukan Uji Bartlet Pillail seperti ditujukkan pada gambar di bawah ini

  • Nilai \(U=\dfrac{\lambda_{1}} {1 + \lambda_{1}}+ \dfrac{\lambda_{2}} {1+\lambda_{2}}=0,4\)
  • selanjutnya \(F_{hit}=\dfrac{U}{r-U}\cdot \dfrac{N-K-p+r}{b}\) diperoleh dengan rumus =(I82/(H79-I82)*(30-3-2+H79)/H80) pada cell F85 diperoleh \(F_{hit}=3,38\)
  • Berdasarkan hasil perhitungan tersebut \(F_{hit}=3,38\) > \(F_{table}(4,54)=2,542\) > Karena \(F_{hit}\)>\(F_{table}\), maka \(H_0\) ditolak, sehingga dapat disimpulkan terdapat dua kelompok perlakuan yang memberikan respon yang berbeda

Uji Roy

  • Menentukan uji Roy diperlihatkan pada gambar berikut

  • untuk menentukan Uji ROy memilih nilai lambda yang terbesar yaitu : 0,584 dan menentukan \(F_{hit}=\dfrac{(N-b-1)\lambda_{2}}{b}\) menggunakan rumus =((30-2-1)*F95)/2 di cell F103 diperoleh \(F_{hit}=7,884\) dan \(F_{table}(2,27)=3,35\)

Karena \(F_{hit}\)>\(F_{table}\), maka \(H_0\) ditolak, sehingga dapat disimpulkan terdapat dua kelompok perlakuan yang memberikan respon yang berbeda

Uji Lawly-Hotelling

  • Uji Lawly_hotelling diperoleh dengan cara seperti pada gambar berikut

  • Berdasarkan gambar tersebut \(F_{hit}=V \dfrac{r(N-K-p-1)+2}{r^2 b}\), dimana \(V=\lambda_{1}+\lambda_{2}\) diperoleh \(F_{hit}=8,021\) dan \(F_{table}=2,74\) > Karena \(F_{hit}\)>\(F_{table}\), maka \(H_0\) ditolak, sehingga dapat disimpulkan terdapat dua kelompok perlakuan yang memberikan respon yang berbeda

Pos Hoc Dengan Aplikasi Excel

Pengujian dengan Pos Hoc dalam Aplikasi Excel dapat dilakukan dengan uji Tukey dan memanfaatkan Fitur Data Analysis, 1. Pengujian Terhdapat Variabel Dependen Kemampuan berfikir (Y1)

  • siapkan data dalam format seperti pada gambar berikut

  • Pilih Menu Data> Data Analysis dan Anova Single Factor kemudian OK

  • Selanjutnya akan tampil hjendela seperti pada gambar di bawah ini

  • Input seperti pada gambar di atas sesuai dengan urutan nomor pointer merah.
  • jika langkah yang dilakukan benar akan tampil seperti pda gambar di bawah ini

  • selanjutnya perlu dibuat tabel bantu dan perhitungan seperti pada gambar berikut

  • Q diperoleh berdasarkan tabel

  • Nilai Q kritis untuk menjadi pembanding diperoleh dengan rumus =Q24*sqrt(P11/Q21) diperoleh nilai Q=6,507 seperti pada gambar di bawah ini

  • selanjutnya membandingkan dengan Nilai Perbedaan rata-rata Setiap Model, Jika Nilai PAda Kolom N22,N23 dan N24 lebih besar dari nilai Q kritis maka perbedaan setiap pasangan kelompok Model pembelajaran sigifikan, menggunakan rumus IF pada cell N22 dengan rumus =IF(L22>M22,"Ya";"Tidak"), dengan copy-paste rumus pada cell N22 ke cell N23 dan N24 diperoleh hasil Bahwa Hanya Pasangan PL-PjBL yang menunjukkan perbedaan yang signifikan.
  1. Pengujian Terhdapat Variabel Dependen Kemampuan Pemecahan Masalah (Y2)
  • Dengan melakukan cara yang identik dengan Pengujian variabel Y1 diperoleh hasil sepertipda gambar berikut

Berdasarkan hasil Uji Tukey sebagaimana pada gambar di atas tidak terdapat perbedaan signifikan satu sama lain ketiga metode Pembelajaran tersebut terhadap Kemampuan pemecahan Masalah Siswa.

Statistik Uji Manova Satu Arah Dengan Aplikasi R

1. Asumsi Normal Multivariat dengan Uji Shapiro-Wilk (variabel dependen)

Hipotesis

\(H_{0}\): Data berdistribusi normal multivariat

\(H_{1}\): Data tidak berdistribusi normal Multivariat

1library(readxl)
datamanova<-read_excel("DataManova.xlsx",sheet = "Sheet2", 
2                       col_names = TRUE)
3y1<-datamanova$Y1
4y2<-datamanova$Y2
5y<-cbind(y1,y2)
#<-factor(c(rep(1,10),rep(2,10),rep(3,10)))
6x<-datamanova$Model
#install.packages("mvnormtest")
7library(mvnormtest)
8mshapiro.test(t(y))
1
Mengaktifkan Library untuk membca file excel
2
Mendefinisikan datamanova yang akan memuat data yang bersumber dari file excel
3
Mendefinisikan y1 sebagai data yang memuat nilai dari kolom Y1 pada file excel
4
Mendefinisikan y2 sebagai data yang memuat nilai dari kolom Y1 pada file excel
5
Menggabungkan y1 dan y2 sebagai variabel dependen y
6
Mendefinisikan x sebagai data yang memuat nilai kolom Model pada file excel (Perlakuan)
7
mengaktifkan library untuk uji Normalitas Multivariat
8
perintah untuk melakukan uji Normalitas Multivariat dengan mshapiro test 

    Shapiro-Wilk normality test

data:  Z
W = 0.95323, p-value = 0.2062

Shapiro-Wilk Test: p-value(0.2062) > \(\alpha\)(0.05) maka \(H_{0}\) diterima, artinya data berdistribusi normal multivariat

2. Asumsi Homogenitas

Hipotesis

\(H_{0}\): Matrix Varian kovarian dari variabel dependen homogen

\(H_{1}\): Matrix Varian kovarian dari variabel dependen tidak homogen

#install.packages("MVTests")
1library(MVTests)
2BoxM(y,x)
1
mengaktifkan library untuk Uji Homogenitas
2
perintah untuk melakaukan Uji Homogenitas dengan Box M Test
 
$Chisq
[1] 6.650543

$df
[1] 6

$p.value
[1] 0.3543765

$Test
[1] "BoxM"

attr(,"class")
[1] "MVTests" "list"

Box’s M Test: p-value(0.3543)>\(\alpha\)(0.05) maka \(H_{0}\) diterima. Artinya dapat disimpulkan bahwa matriks varian kovarians dari variabel dependen homogen, atau dengan kata lain asumsi homogenitas terpenuhi

3. Uji Manova Satu Arah

Hipotesis

\(H_{0}\): \(\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=0\)

\(H_{1}:\)Minimal ada satu \(\mu_{i}\), dimana \(\mu_{i}\not=0\)

# uji MANOVA
1library(car)
2ujiM <-lm(cbind(Y1,Y2)~Model, datamanova)
3table <- Manova(ujiM)
4summary(table,multivariate=TRUE)
1
mengaftifkan Library Car
2
Mendefinisikan ujiM sebagai hasil dari uji MANOVA
3
Mendefinisikan table sebagai hasil dari uji Manova
4
Perintah untuk menghasilkan summary dari hasil 4 uji manova 

Type II MANOVA Tests:

Sum of squares and products for error:
      Y1     Y2
Y1 917.5  -50.3
Y2 -50.3 1106.1

------------------------------------------
 
Term: Model 

Sum of squares and products for the hypothesis:
         Y1    Y2
Y1 289.8667 260.4
Y2 260.4000 304.2

Multivariate Tests: Model
                 Df test stat approx F num Df den Df    Pr(>F)   
Pillai            2 0.4019395 3.395481      4     54 0.0150370 * 
Wilks             2 0.6103414 3.640138      4     52 0.0109074 * 
Hotelling-Lawley  2 0.6183058 3.864411      4     50 0.0082096 **
Roy               2 0.5838419 7.881866      2     27 0.0020132 **
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

4. Hasil Uji Manova Dengan 4 Uji

  • Uji Wilks Lambda Nilai wilks Lambda 3,64 dengan nilai signifikansi 0.01091 < \(\alpha\) (0.05) sehingga tolak \(H_{0}\)

  • Uji Pillai Nilai Trace Pillai 3,395 dengan nilai signifikansi 0.01504 < \(\alpha\) (0.05) sehingga tolak \(H_{0}\)

  • Uji Hotelling-Lawley Nilai Trace Pillai 3,864 dengan nilai signifikansi 0.00821 < \(\alpha\) (0.05) sehingga tolak \(H_{0}\)

  • Uji Akar Maksimum Roy Nilai Akar Maksimum Roy 7,881 dengan nilai signifikansi 0.002013 < \(\alpha\) (0.05) sehingga tolak \(H_{0}\)

5. Kesimpulan

Dapat disimpulkan bahwa dengan tingkat kesalahan 5% intervensi Model pembelajaran memiliki pengaruh yang signifikan terhadap kemampuan berfikir dan kemampuan pemecahan Masalah Siswa.

B. Uji Pos Hoc

# Uji Tukey
1ujiTukey_y1<-TukeyHSD(aov(y1~x,data=datamanova))
2ujiTukey_y2<-TukeyHSD(aov(y2~x,data=datamanova))
3print("Ini Hasil Uji Tukey y1")
4ujiTukey_y1
print("-------------------------------")
print("Ini Hasil Uji Tukey y2")
ujiTukey_y2

# UJi T Pairwise T Test
5UjiPair_y1 <- pairwise.t.test(y1,x,p.adjust.method = "BH")
UjiPair_y2 <- pairwise.t.test(y2,x,p.adjust.method = "BH")
UjiPair_y1
UjiPair_y2

# Uji LSD
#library(agricolae)
6#ujiLSD_y1<- LSD.test(aov(y1~x,data=datamanova),'x')
#ujiLSD_y2<- LSD.test(aov(y2~x,data=datamanova),'x')
#ujiLSD_y1
#ujiLSD_y2
1
Mendefinisikan UjiTukey_y1 sebagai hasil Uji Tukey untuk Variabel Y1
2
Mendefinisikan UjiTukey_y2 sebagai hasil Uji Tukey untuk Variabel Y2
3
menampilkan kalimat “Ini hasil uji Tukey y1”
4
menampilkan Hasil Uji Tukey untuk Variabel Y1
5
Mendefinisikan UjiPair_y1 sebagai hasil Uji Pairwise T Test untuk variabel Y1
6
Mendefinisikan UjiLSD_y1 sebagai hasil Uji LSD untuk variabel dependen Y1 
[1] "Ini Hasil Uji Tukey y1"
  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = y1 ~ x, data = datamanova)

$x
         diff       lwr       upr     p adj
PjBL-PBL -3.4 -9.863769  3.063769 0.4051335
PL-PBL    4.2 -2.263769 10.663769 0.2583469
PL-PjBL   7.6  1.136231 14.063769 0.0187465

[1] "-------------------------------"
[1] "Ini Hasil Uji Tukey y2"
  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = y2 ~ x, data = datamanova)

$x
         diff       lwr       upr     p adj
PjBL-PBL  0.3 -6.797085  7.397085 0.9939637
PL-PBL    6.9 -0.197085 13.997085 0.0579086
PL-PjBL   6.6 -0.497085 13.697085 0.0720649


    Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 

data:  y1 and x 

     PBL   PjBL 
PjBL 0.203 -    
PL   0.178 0.021

P value adjustment method: BH 

    Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 

data:  y2 and x 

     PBL   PjBL 
PjBL 0.917 -    
PL   0.044 0.044

P value adjustment method: BH

Hasil Interpretasi Uji Post Hoc

Berdasarkan hasil Uji Post Hoc dengan menggunakan Uji Tukey untuk mengetahui perbedaan Kemampuan pemecahan Masalah (Y1) dan Kemampuan berfikir Kritis (Y2) yang diajarkan dengan menggunakan Metode Posed Learning (PL), Problem Based learning (PBL), dan Project Base learning (PjBL) dengan hasil uji sebagai berikut :

  1. Tidak terdapat perbedaan (secara rata-rata) yang signifikan secara statistik terhadap kemampuan pemecahan masalah (Y1) ketika diterapkan model pembelajaran PjBL dengan PBL. Hal ini dapat dilihat dari nilai P-value (0.4051)>\(\alpha\)(0.05).

  2. Tidak terdapat perbedaan (secara rata-rata) yang signifikan secara statistik terhadap kemampuan pemecahan masalah (Y1) ketika diterapkan model pembelajaran PL dengan PBL. Hal ini dapat dilihat dari nilai P-value (0.2583)>\(\alpha\)(0.05).

  3. Terdapat perbedaan (secara rata-rata) yang signifikan secara statistik terhadap kemampuan pemecahan masalah (Y1) ketika diterapkan model pembelajaran PL dengan PjBL. Hal ini dapat dilihat dari nilai P-value (0.0187)<\(\alpha\)(0.05).

  4. Tidak terdapat perbedaan (secara rata-rata) yang signifikan secara statistik terhadap kemampuan Berfikir Kritis (Y2) ketika diterapkan model pembelajaran PjBL dengan PBL. Hal ini dapat dilihat dari nilai P-value (0.9939)>\(\alpha\)(0.05).

  5. Tidak terdapat perbedaan (secara rata-rata) yang signifikan secara statistik terhadap kemampuan Berfikir kritis (Y2) ketika diterapkan model pembelajaran PL dengan PBL. Hal ini dapat dilihat dari nilai P-value (0.057)>\(\alpha\)(0.05).

  6. Tidak terdapat perbedaan (secara rata-rata) yang signifikan secara statistik terhadap kemampuan Berfikir kritis (Y2) ketika diterapkan model pembelajaran PL dengan PBL. Hal ini dapat dilihat dari nilai P-value (0.0720)>\(\alpha\)(0.05).

Terima Kasih